-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
Expand file tree
/
Copy path1
More file actions
196 lines (123 loc) · 7.79 KB
/
1
File metadata and controls
196 lines (123 loc) · 7.79 KB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
为了区分本文中的定义，将本文中所有粗体 $\bm{a}$ 和 $\bm{h}$ 作为水平宽和铅垂高线段的符号。其余非粗体字母按照数学法则照常使用。
# 水平宽和铅垂高
## 1.水平宽和铅垂高的定义与性质
如图 $1$，这是一个锐角三角形。考虑求它的面积。
我们可以将其放进一个坐标系中进行观察。如图 $2$。
### 定义 1.1 水平宽
- 三角形任意两个顶点的投影长度。记作 $\bm{a}$。
### 定义 1.2 铅垂高
- 过三角形第三点作水平宽的垂线，交对边所在的直线为一点。这两点的距离叫做铅垂高。记作 $\bm{h}$。
### 定理 1.1
- 因为**同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直**，所以当确定了一条水平宽后，铅垂高有且只有一条。
### 定理 1.2
- 三角形的一组铅垂高与水平宽相互垂直。即 $\bm{a} \perp \bm{h}$。
### 定理 1.3
- 三角形的面积等于其一组水平宽与铅垂高之积的一半。即 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\bm{a} \bm{h}$。
- 证明（图 $2$）：
过点 $A,C$ 分别作 $AE,CF \perp BD$，垂足为 $E,F$。
根据**定理 1.2**可得 $AE+CF=\bm{a}$，已知 $BD=\bm{h}$。
所以
$$
\begin{align*}
S_{\triangle ABC} &= S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}\\
&= \frac{1}{2} AE \cdot BD + \frac{1}{2} CF \cdot BD \\
&= \frac{1}{2} BD \cdot (AE+CF) \\
&= \frac{1}{2} \bm{a} \bm{h}
\end{align*}
$$
### 定理 1.4
- 一个三角形有三对水平宽和铅垂高。如图 $3$。任意一组水平宽和铅垂高都满足 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\bm{a} \bm{h}$。
## 2.一般三角形中的水平宽和铅垂高
### 2.1 锐角三角形
见**定理 1.4**。
### 2.2 钝角三角形
如图 $4$，钝角三角形同样满足上文中的性质。
综上可得，对于任意一个三角形，我们都可以利用水平宽铅垂高来求出其面积。
## 3.水平宽铅垂高的应用
### 3.1 水平宽铅垂高与平面直角坐标系
水平宽和铅垂高被广泛地应用于坐标系中的求三角形面积问题。这一类题的大致思路是：
- 找到水平宽与铅垂高
- 求水平宽与铅垂高的长度
- 计算面积
### 例 1 (2023秋·桐城市校级期末)：
如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=kx+b$ 与 $x$ 轴交于点 $B(-5,0)$，与 $y$ 轴交于点 $A$，直线 $y=-\frac{4}{3}x+4$ 过点 $A$,与 $x$ 轴交于点 $C$，点 $P$ 是 $x$ 轴上方一个动点。
- 求直线 $AB$ 的函数表达式；
- 若点 $P$ 在射线 $BA$ 上，且 $S_{\triangle APC}=S_{\triangle AOB}$，求点 $P$ 的坐标。
跳过第一问得 $l_{AB}:y=\frac{4}{5}x+4, \ A(0,4), \ B(-5,0), \ C(3,0), \ S_{\triangle AOB}=10$。
第二问我们就可以用水平宽铅垂高公式。以 $OC$ 为水平宽，$DP$ 为铅垂高。则 $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OC \cdot DP=10$。
此时设 $D(m,\frac{4}{5}m+4),P(m,-\frac{4}{3}m+4)$，则 $|y_{D}-y_{P}|=DP$。
所以 $\frac{1}{2} |y_{D}-y_{P}| \times 3=10$，解得 $m=-\frac{25}{8}$ 或 $m=\frac{25}{8}$。
所以 $P(-\frac{25}{8},\frac{3}{2})$ 或 $P(\frac{25}{8},\frac{13}{2})$。
如果没有平面直角坐标系，**建议直接暴力建系**，找到一个直角顶点，以这一顶点为原点作平面直角坐标系即可。
### 例 2 ：
如图，已知边长为 $a$ 的正方形 $ABCD$，$E$ 为 $AD$ 中点，$P$ 为 $CE$ 中点，求三角形 $BPD$ 的面积
以点 $B$ 为原点 $O$，构建平面直角坐标系，如图：
因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以对角线的解析式为：$l_{BD}:y=x$。
由题意得 $E(\frac{a}{2} , a) \ ,C(a,0)$。
由中点坐标公式可得 $P(\frac{x_E+x_C}{2},\frac{y_E+y_C}{2})$，即 $E(\frac{3}{4}a,\frac{1}{2}a)$，即 $l_{BP}:y=\frac{2}{3}x$。
此时 $BC$ 为水平宽，$PQ$ 为铅垂高。可得：$l_{PQ}:x=\frac{3}{4}a$，联立 $l_{BD},l_{PQ}$，得：
$
\left\{\begin{matrix}
l_{BD}:y=x\\
l_{PQ}:x=\frac{3}{4}a
\end{matrix}\right.
$ 解得 $
\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3}{4}a\\
y=\frac{3}{4}a
\end{matrix}\right.
$，所以 $Q(\frac{3}{4}a,\frac{3}{4}a)$。
所以 $PQ=|y_Q-y_P|=|\frac{3}{4}a-\frac{1}{2}a|=\frac{1}{4}a$。
所以 $S_{\triangle BDP}=\frac{1}{2}PQ \cdot BC=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} a^{2}=\frac{1}{8} a^{2}$
### 例 3：（2021 春·青山区期末）
已知，在平面直角坐标系中，三角形 $ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(a,0),B(b,4),C(2,c)$，$BC \parallel x$ 轴，且 $a,b$ 满足 $\sqrt{a+b-1}+|2a-b+10|=0$。
- 求 $a,b,c$ 的值。
- 如图 $1$，在 $y$ 轴上是否存在点 $D$，使三角形 $ABD$ 的面积等于三角形 $ABC$ 的面积？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
- 如图 $2$，连接 $OC$ 交 $AB$ 于点 $M$，点 $N(n,0)$ 在 $x$ 轴上，若三角形 $BCM$ 的面积小于三角形 $BMN$ 的面积，直接写出 $n$ 的取值范围。
**这是一道很典型的水平宽铅垂高题。**
第一题跳过，得 $a=-3,b=4,c=4$。
接下来看第二问。已知 $A(-3,0) ,\ B(4,4), \ C(2,4)$。显然 $D$ 点有两种情况，如果硬用割补法较为繁琐。如果使用水平宽铅垂高比较简单。
显然可以求出 $S_{\triangle ABC}=4$。具体求法也可以用水平宽和铅垂高。如下：
所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} BC \cdot AD=\frac{1}{2} |x_B-x_C| \cdot |y_C|=\frac{1}{2} \times 2 \times 4=4$。
接下来求 $S_{\triangle ABD}$。设 $D(0,m)$。
所以 $S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2} \bm{ah}=\frac{1}{2}|x_A-x_B| \cdot |m-y_M|$。
已知 $A,B$ 两点坐标，不难求出 $l_{AB}:y=\frac{4}{7}x + \frac{12}{7}$。所以 $M(0,\frac{12}{7}), \ y_m=\frac{12}{7}$。**这里设 $AB$ 与 $y$ 轴交点为 $M$。**
所以可得方程：
$$|m-\frac{12}{7}| \cdot 7 \times \frac{1}{2}=4$$
解得 $m=\frac{20}{7}$ 或 $m=\frac{4}{7}$。
所以 $D(0 , \frac{20}{7})$ 或 $D(0 , \frac{4}{7})$。
第三问同样，用水平宽铅垂高公式会简易许多。
首先求得 $S_{\triangle BCM}$，如下图：
已知 $A(-3,0) ,\ B(4,4), \ C(2,4)$。
不难求出 $l_{OC}:y=2x$。联立 $l_{OC}$ 和 $l_{AB}$ 得：
$
\left\{\begin{matrix}
l_{OC}:y=2x\\
l_{AB}:y=\frac{4}{7}x + \frac{12}{7}
\end{matrix}\right.
$ 解得 $
\left\{\begin{matrix}
x=\frac{6}{5}\\
y=\frac{12}{5}
\end{matrix}\right.
$，所以 $M(\frac{6}{5},\frac{12}{5})$
所以 $S_{\triangle BCM}=\frac{1}{2} BC \cdot MD=\frac{1}{2} |x_B-x_C| \cdot |y_C-y_M|=\frac{1}{2} |4-2| \cdot |4-\frac{12}{5}|=\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{8}{5}=\frac{8}{5}$。
接下来就要分类讨论 $N$ 点的位置。分两种情况，如图：
因为设 $N(n,0)$，$DN$ 位于同一条直线上，所以 $D(n,\frac{4}{7}n+\frac{12}{7})$。
所以，$S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2} \bm{ah}=\frac{1}{2} \cdot |x_M-x_B| \cdot |y_D-y_N|=\frac{1}{2} \times |4-\frac{6}{5}| \cdot |\frac{4}{7}n+\frac{12}{7}-0| =\frac{1}{2} \times \frac{14}{5} \cdot |\frac{4}{7}n+\frac{12}{7}|$。
所以可列方程：
$$\frac{1}{2} \times \frac{14}{5} \cdot |\frac{4}{7}n+\frac{12}{7}|>\frac{8}{5}$$
解得：$n>-1$ 或 $n<-5$。